Лекция 4

Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Геометрический смысл несобственного интеграла

x dx от функции

f x , неограниченной справа от точки a , заключается в следующем.

функция f x

непрерывна и неотрицательна на полуинтервале a,b ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

456.92 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 4. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Главные значения несобственных интегралов. Признаки сравнения несобственных интегралов. Признак абсолютной сходимости. Некоторые известные несобственные интегралы. Свойства гамма-функции.

Лекция 4

Несобственные интегралы

1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Рассмотрим функцию f x , определенную на полуинтервале a, .

			b

Пусть на любом отрезке	a,b	существует определенный интеграл		f	x dx

(функция f x интегрируема на отрезке a,b ).

Определение 1.

Несобственным интегралом

x dx

называется предел

следующего вида

x dx lim

x dx .

(1)

Определение 2.

Несобственный интеграл

x dx

называется сходящимся,

если

x dx

lim

x dx

const . Если же данный предел не существует

или

является

бесконечным,

то

говорят,

что

несобственный интеграл

x dx расходится, а функция f

не интегрируема.

Геометрический смысл несобственного интеграла

x dx заключается

следующем.

Пусть

функция

f x непрерывна

неотрицательна на

полуинтервале

тогда

интеграл

x dx

дает

площадь бесконечно

длинной криволинейной трапеции см. рис.1.

Стаценко И.В. Лекция 4. Несобственные интегралы.

f x

Рис.1.

По аналогии с видом (1) можно ввести еще два вида интегралов с бесконечными пределами:

x dx lim

x dx ,

(2)

x dx lim

x dx .

(3)

b a

В случае (2)

функция

определена

на

полуинтервале

,b и существует

определенный

интеграл

x dx

на

любом

отрезке

a,b

внутри данного

полуинтервала.

В случае (3) функция определена на всей числовой оси Ox и

существует определенный интеграл

x dx на любом отрезке

a,b

числовой

оси Ox .

Пример 1. Вычислить интеграл e x dx .

Решение:

dx lim

lim

b 0

b e

Интеграл e x dx сходится.

Стаценко И.В. Лекция 4. Несобственные интегралы.

				3

Пример 2.	Вычислить интеграл		x 1dx .
			1
			b				b .
Решение:		x 1dx lim		x 1dx lim	ln	x
Решение:		x 1dx lim		x 1dx lim	ln	x
		b		b			1


	1		1

Интеграл x 1dx расходится.

2. Несобственные интегралы от неограниченных функций

Рассмотрим функцию

f x

, определенную на полуинтервале

a,b ,

неограниченную слева от точки b .

Пусть на любом отрезке a,b ,

существует определенный интеграл

x dx (функция f

интегрируема).

Определение 3.

Несобственным

интегралом

x dx

от

функции

неограниченной слева от точки b , называется предел следующего вида

x dx lim

x dx .

(4)

Определение 4.

Несобственный

интеграл

x dx

от

функции

неограниченной слева от точки b , называется сходящимся, если выполняется

условие:

x dx const . Если

x dx или не существует, то интеграл

x dx называется расходящимся.

Геометрический смысл несобственного интеграла

x dx от функции

f x , неограниченной слева от точки

b , заключается в следующем.

Пусть

функция

f x непрерывна и неотрицательна на полуинтервале a,b ,

тогда

интеграл f x dx дает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.

см. рис.2.

Стаценко И.В. Лекция 4. Несобственные интегралы.

f x

Рис.2.

Рассмотрим функцию

f x ,

определенную на полуинтервале

a,b ,

неограниченную справа от точки a .

Пусть на любом отрезке a ,b ,

(функция f

существует определенный интеграл

x dx

интегрируема).

Определение 5.

Несобственным

интегралом

x dx

от

функции

неограниченной справа от точки a , называется предел следующего вида

x dx lim

x dx .

(5)

Определение 6.

Несобственный

интеграл

x dx

от

функции

неограниченной справа от точки a , называется сходящимся, если выполняется

			b			b

условие:				f	x dx const . Если		f	x dx или не существует, то интеграл
			a			a
b

	f	x dx называется расходящимся.

Стаценко И.В. Лекция 4. Несобственные интегралы.

	b

интеграл		f	x dx дает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.
	a
см. рис.3.

f x

Рис.3.

x 1

Пример 3.

Вычислить интеграл

dx .

Решение:

x 1 dx lim

x 1 dt

lim

dx расходится.

Интеграл

Определение 7.

Несобственным

интегралом

x dx от функции

неограниченной

справа

от

точки

слева

от

точки

b ,

называется

предел

следующего вида

0, 0

x dx

lim

x dx .

(6)

a 1

Стаценко И.В. Лекция 4. Несобственные интегралы.

										6
							1			1
Пример 4.				Вычислить интеграл						1				dx .

											1 x		2
								1			1 x
Решение:
1	1					1 2	1										1 2
	1		dx		lim		1				dx			lim		arcsin(x)	1 2	.
																	1 1

		2							2
	1 x			0, 0			1 x					0,			0
				0, 0								0,			0
1				1	2	1 1							1		2
				1	2								1		2

3.Главные значения несобственных интегралов

Вопределении несобственного интеграла с бесконечным нижним и верхним пределами интегрирования не учитывается, с какой скоростью стремятся к бесконечности по отдельности нижний и верхний предел:

				b
				a
	f		x dx lim		f	x dx .	(7)
				b a
Если несобственный интеграл с бесконечными пределами вводить
следующим образом:
				с
				с
	f	x dx lim			f	x dx ,	(8)
				с

то говорят, что несобственный интеграл с бесконечными пределами вычисляется в смысле главного значения. В этом случае для непрерывной и четной функции f x получим



	f	x dx 2			f	x dx ,	(9)
				0
а для нечетной непрерывной функции f				x получим


		f	x dx	0.			(10)

Важным условием справедливости формулы (9) является сходимость интеграла

f x dx . Для справедливости формулы (10) в смысле главного значения не

важно сходится интеграл f x dx или не сходится.

Пример 5. Установить сходимость интеграла dx .

1 x2

Стаценко И.В. Лекция 4. Несобственные интегралы.

Решение: подынтегральная функция четная и при этом интеграл

1 x2

сходится, также

как сходится

, поэтому

исходный

интеграл

сходится и равен:

1 x2

xdx

Пример 6.

Установить сходимость интеграла

1 x

xdx

Решение:

подынтегральная

функция

нечетная

интеграл

расходится,

но исходный интеграл сходится в смысле главного значения,

так

как для нечетной функции:

xdx

0 .

1 x2

4. Признаки сходимости несобственных интегралов

4.1. Признак сравнения

Пусть функции f x

и g x

непрерывны на полуинтервале a, и

удовлетворяют условию

0 f (x) g x ,

x a ,

(11)

тогда, если

x dx сходится,

то

сходится

интеграл

x dx ;

если

же

интеграл

x dx расходится, то интеграл

x dx тоже расходится.

Пример 7. Исследовать интеграл на сходимость

Стаценко И.В. Лекция 4. Несобственные интегралы.

Решение: Так как интеграл

сходится,

а для функций

выполняется условие:

x 1, то

также сходится.

Замечание 1: для непрерывных функций

f x

и g x признак сравнения

будет также справедлив, если условие (11) будет выполняться

для

всех

x ,

начиная со значения x x0 , такого, что a x0 .

4.2. Предельный признак сравнения

Пусть

функции

f x

g x

непрерывны и неотрицательны

на

полуинтервале

a, , причем

g x 0 на любом промежутке

a,b . Тогда,

если существует конечный предел следующего вида:

lim

f x

(12)

x g x

то интегралы

x dx

либо

одновременно

сходятся,

либо

одновременно расходятся.

Если 0, то можно только утверждать, что из сходимости

x dx следует

сходимость

x dx .

Замечание 2: Аналогичные признаки сравнения можно сформулировать для несобственных интегралов от неограниченных функций.

						dx
Пример 8. Исследовать интеграл на сходимость						dx	.
Пример 8. Исследовать интеграл на сходимость						2	.
				3	x	2x
				3
dx			1					1					1
Решение: Так как интеграл				сходится, а для функций						,
Решение: Так как интеграл	x	2	3	сходится, а для функций				x	2	,	x	2	2x
3	x		3					x			x		2x
3

выполняется условие:

Стаценко И.В. Лекция 4. Несобственные интегралы.

lim

x2 2x

то из сходимости интеграла

следует сходимость интеграла

5. Признак абсолютной сходимости

Пусть

функция

f x

непрерывна

на

полуинтервале

a, . Если

интеграл

сходится, то сходится и интеграл

x dx .

Доказательство: Для любого x справедливо

0 f x

f x

. По

условию

f x

сходится,

следовательно,

сходится

интеграл

f x

dx сходится,

f x

dx . По признаку сравнения имеем, что

так как 2

. Тогда сходится интеграл

x dx .

Определение

Если

сходится

интеграл

f x

dx ,

то

интеграл

x dx называется абсолютно сходящимся,

а функция

абсолютно

интегрируемой.

Определение 9.

Если сходится интеграл

x dx ,

интеграл

расходится, то интеграл

x dx называется условно сходящимся.

Замечание 3. Аналогичный признак абсолютной сходимости можно сформулировать для несобственных интегралов от неограниченных функций.

Стаценко И.В. Лекция 4. Несобственные интегралы.

sin(x)dx

Пример 9.

Исследовать на абсолютную сходимость интеграл

Решение:

sin(x)

x 1,

1 сходится.

Известно,

что

интеграл

Тогда по

признаку

сравнения

sin(x)

sin(x)dx

сходится,

следовательно,

интеграл

абсолютно

сходится.

Замечание 4. Используя доказательство, аналогичное представленному в примере 8, можно показать, что интегралы вида:

sin( x)dx

cos( x)dx

, const , при

n 1 сходятся

;

абсолютно.

sin(x)dx

Пример 10.

Исследовать на абсолютную сходимость интеграл

Решение:

Признаки сравнения несобственных интегралов в данном случае применять

затруднительно, так как, допустим,

сравнение с

расходящимся

интегралом

по предельному признаку

сравнения

для модуля

отношения

sin x

подынтегральных функций дает lim

lim

sin x

Поэтому применим к исследуемому интегралу интегрирование по частям:

sin(x)dx

cos x

cos(x)dx

;

du -

dx;

dv sin(x)dx; v

cos(x)

Стаценко И.В. Лекция 4. Несобственные интегралы.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024456.02 Кб0Лекция 13.pdf
#
16.05.2024416.26 Кб0Лекция 14.pdf
#
16.05.2024440.3 Кб0Лекция 15.pdf
#
16.05.2024440.55 Кб0Лекция 2.pdf
#
16.05.2024439.71 Кб0Лекция 3.pdf
#
16.05.2024456.92 Кб0Лекция 4.pdf
#
16.05.2024435.65 Кб0Лекция 5.pdf
#
16.05.2024384.5 Кб0Лекция 6-7.pdf
#
16.05.2024459.54 Кб0Лекция 6.pdf
#
16.05.2024449.5 Кб0Лекция 7.pdf
#
16.05.2024447.02 Кб0Лекция 8.pdf